如图,抛物线与交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.下列结论:①;②时,;③平行于x轴的直线与两条抛物线有四个交点;④2AB=3AC.其中错误结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B.
解析试题分析:①把A(1,3)代入,抛物线y1=a(x+2)2﹣3得,3=a(1+2)2﹣3,解得a=,故本选项正确;
②由两函数图象可知,抛物线y1=a(x+2)2﹣3
解析式为y1=(x+2)2﹣3,
当x=0时,y1=(0+2)2﹣3=﹣,y2=(0﹣3)2+1=,
故y2﹣y1=﹣﹣=﹣,故本选项错误;
③当m=3时,平行于x轴的直线与两条抛物线有三个交点,故本选项错误;
④∵物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=(x﹣3)2+1交于点A(1,3),
∴y1的对称轴为x=﹣2,y2的对称轴为x=3,
∴B(﹣5,3),C(5,3)
∴AB=6,AC=4,
∴2AB=3AC,故本选项题正确.
错误结论的个数是2个.
故选B.
考点:二次函数综合题.
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“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.
(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?
(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?
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在平面直角坐标系中, 抛物线+与直线交于A, B两点,点A在点B的左侧.
(1)如图1,当时,直接写出A,B两点的坐标;
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,抛物线+ 与轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).在直线上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时的值;若不存在,请说明理由.
图1 图2
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已知:矩形ABCD中,M为BC边上一点, AB=BM=10,MC=14,如图1,正方形EFGH的顶点E和点B重合,点F、G、H分别在边AB、AM、BC上.如图2,P为对角线AC上一动点,正方形EFGH从图1的位置出发,以每秒1个单位的速度沿BC向点C匀速移动;同时,点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿CA向点A匀速移动.当点F到达线段AC上时,正方形EFGH和点P同时停止运动.设运动时间为t秒,解答下列问题:
(1)在整个运动过程中,当点F落在线段AM上和点G落在线段AC上时,分别求出对应t的值;
(2)在整个运动过程中,设正方形与重叠部分面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围;
(3)在整个运动过程中,是否存在点P,使是以DG为腰的等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
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如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
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如图,直线y=x+m与抛物线y=x2-2x+l交于不同的两点M、N(点M在点N的左侧).
(1)设抛物线的顶点为B,对称轴l与直线y=x+m的交点为C,连结BM、BN,若S△MBC=S△NBC,求直线MN的解析式;
(2)在(1)条件下,已知点P(t,0)为x轴上的一个动点,
①若△PMN为直角三角形,求点P的坐标.
②若∠MPN>90°,则t的取值范围是 .
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已知关于的方程:①和②,其中.
(1)求证:方程①总有两个不相等的实数根;
(2)设二次函数的图象与轴交于、两点(点在点的左侧),将、两点按照相同的方式平移后,点落在点处,点落在点处,若点的横坐标恰好是方程②的一个根,求的值;
(3)设二次函数,在(2)的条件下,函数,的图象位于直线左侧的部分与直线()交于两点,当向上平移直线时,交点位置随之变化,若交点间的距离始终不变,则的值是________________.
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如图①,已知二次函数的解析式是y=ax2+bx(a>0),顶点为A(1,-1).
(1)a= ;
(2)若点P在对称轴右侧的二次函数图像上运动,连结OP,交对称轴于点B,点B关于顶点A的对称点为C,连接PC、OC,求证:∠PCB=∠OCB;
(3)如图②,将抛物线沿直线y=-x作n次平移(n为正整数,n≤12),顶点分别为A1,A2,…,An,横坐标依次为1,2,…,n,各抛物线的对称轴与x轴的交点分别为D1,D2,…,Dn,以线段AnDn为边向右作正方形AnDnEnFn,是否存在点Fn恰好落在其中的一个抛物线上,若存在,求出所有满足条件的正方形边长;若不存在,请说明理由.
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在平面直角坐标系xOy中,直线分别与x轴,y轴交于过点A,B,点C是第一象限内的一点,且AB=AC,AB⊥AC,抛物线经过A,C两点,与轴的另一交点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)判断直线AB与CD的位置关系,并证明你的结论;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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