Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6

2

，CD⊥AB于D，点E在直线CD上，DE=

1

2

CD，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点．
（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：

 

，

 

；
（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且AF=2FD时，求证：∠CNE=45°；
（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得∠CNE=45°？若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）延长AE交CM于点H，由等腰直角三角形的性质就可以得出△AEC≌△CMB，就可以得出∠CAE=∠BCM而得出结论；
（2）如图1，过点A作AG⊥AB，且AG=BM，连接CG、FG，延长AE交CM于H．先由等腰三角形的性质和勾股定理就可以得出FG=FM，就可以得出△CAG≌△CBM，就有CG=CM，∠ACG=∠BCM．得出∠MCG=90°．进而证明△FCG≌△FCM就可以得出结论；
（3）如图2，作BH⊥CN于H，由条件就可以得出∠ANB=∠NCB，可以得出△ADE∽△CHB，就可以求出BH的值，再得出△CDF∽△BHF就可以求出DF的值，进而求出AF的值．

解答：解：（1）AE⊥CM，AE=CM
理由：延长AE交CM于点H，
∵∠ACB=90°，CA=CB=6

2

，CD⊥AB于D，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACD=∠BCD=45°，AD=BD=CD=

1

2

AB．
∵M是DB的中点，
∴BM=

1

2

BD．
∵DE=

1

2

CD，
∴DE=BM．
在△AEC和△CMB中
∵

AC=CB ∠ACE=∠B CE=BM

，
∴△AEC≌△CMB（SAS），
∴AE=CM，∠CAE=∠BCM．
∵∠ACM+∠BCM=90°，
∴∠ACM+∠CAE=90°，
∴∠ACH=90°．
∴AH⊥CM．
∴AE⊥CM，AE=CM；
（2）如图1，过点A作AG⊥AB，且AG=BM，连接CG、FG，延长AE交CM于H．
∵∠ACB=90°，CA=CB=6

2

，
∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=

CA2+CB2

=12．
∴∠GAC=∠MBC=45°．
∵CD⊥AB，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB=6．
∵M是DB的中点，
∴DM=BM=3．
∴AG=3．
∵AF=2FD，
∴AF=4，DF=2，
∴FM=DF+DM=2+3=5．
∵AG⊥AF，
∴FG=

AG2+AF2

=

32+42

=5，
∴FG=FM．
在△CAG和△CBM中，

CA=CB ∠CAG=∠CBM AG=BM

，
∴△CAG≌△CBM．
∴CG=CM，∠ACG=∠BCM．
∴∠MCG=∠ACM+∠ACG=∠ACM+BCM=90°．
在△FCG和△FCM中，

CG=CM FG=FM CF=CF

，
∴△FCG≌△FCM（SSS）．
∴∠FCG=∠FCM．
∴∠FCM=45°．
∵AE⊥CM，
∴∠CHN=90°
∴∠CNE=45°；
（3）存在．
理由：如图2，作BH⊥CN于H，
∴∠CHB=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠CHB=∠ADE．
∵∠ACB=90°，CA=CB=6

2

，
∴∠CAB=∠CBA=45°．AB=

CA2+CB2

=12．
∴∠GAC=∠MBC=45°．
∵CD⊥AB，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB=6．
∵DE=

1

2

CD，
∴DE=3．
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=3

5

．
∵∠CNE=45°，
∴∠CBA=∠CNE．
∵∠AFN=∠CFB，
∴∠NAF=∠BCF．
∴△ADE∽△CHB，
∴

DE

BH

=

AE

BC

，
∴

3

BH

=

3 5

6 2

，
∴BH=

6

5

10

．
设DF=x，则BF=6-x．
在Rt△CDF中，由勾股定理，得
CF=

36+x2

．
∵∠CDF=∠BHF=90°，∠DFC=∠HFB，
∴△CDF∽△BHF，
∴

CD

BH

=

CF

BF

，
∴

6

6 5 10

=

36+x2

6-x

，
∴x₁=2，x₂=18＞6（舍去），
∴x=2．
∴AF=6+2=8．
答：AF=8．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等和相似是关键．