Question

2．如图，在△ABC中，高线AD与高线CF相交于点H，P为AD上一点，连结BP，PC，且PC²=CH•CF，求证：∠BPC=90°．

Answer 1

分析 由∠HCD∠=FCB，∠HDC=∠BFC=90°得到△HDC～△BCF，证得$\frac{CH}{BC}=\frac{CD}{CF}$，于是得到CD•BC=CH•CF，由于PC²=CH•CF，推出CD•BC=PC²，得到$\frac{PC}{CD}=\frac{BC}{PC}$，于是得到△PCD∽△BCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵∠HCD∠=FCB，∠HDC=∠BFC=90°
∴△HDC～△BCF，
∴$\frac{CH}{BC}=\frac{CD}{CF}$，
∴CD•BC=CH•CF，
∵PC²=CH•CF，
∴CD•BC=PC²，
∴$\frac{PC}{CD}=\frac{BC}{PC}$，
∵∠PCD=∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴∠BPC=∠PDC=90°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．