Question

3．已知一次函数y=2x-k与反比例函数y=$\frac{k+2}{x}$的图象相交于A、B，其中A的横坐标为3．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线AB上有一点P，使得△APO∽△AOB，求P坐标．

Answer 1

分析 （1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值，进而得出两个函数的关系式；
（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标；根据AB两点的坐标得出OA²及AB的长，再由△APO∽△AOB得出$\frac{AP}{OA}$=$\frac{OA}{AB}$，故可得出AP的长，因为点P在直线y=2x-4上，所以设P（x，2x-4），根据两点间的距离公式即可得出AP的表达式，得出x的值，进而得出结论．

解答 解：（1）∵一次函数y=2x-k与反比例函数y=$\frac{k+2}{x}$的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=6-k}\\{y=\frac{k+2}{3}}\end{array}\right.$，
解得k=4．
∴一次函数的解析式为：y=2x-4；反比例函数的关系式为：y=$\frac{6}{x}$；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-6}\end{array}\right.$，
∴A（3，2），B（-1，-6）；
∴OA²=3²+2²=13，AB=$\sqrt{（3+1）^{2}+（2+6）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵△APO∽△AOB，
∴$\frac{AP}{OA}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴OA²=AP•AB，即13=AP•4$\sqrt{5}$，
解得AP=$\frac{13\sqrt{5}}{20}$，
∵点P在直线y=2x-4上，
∴设P（x，2x-4），
∴AP=$\sqrt{（3-x）^{2}+（2-2x+4）^{2}}$，
解得x=3±$\sqrt{42}$，
∴P点坐标为（3+$\sqrt{42}$，2+2$\sqrt{42}$）或（3-$\sqrt{42}$，6-2$\sqrt{42}$）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点及两点间的距离公式是解答此题的关键．