Question

如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．
（1）若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（-1，0）、
（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；
（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°
①求“抛物菱形OABC”的面积．
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质求得A点的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式；
（2）①根据“抛物菱形”的性质，依据∠OAB=60°求得OB的长，然后根据勾股定理求得AC的值，即可求得菱形的面积；②当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，从而求得△OEF是等边三角形，根据勾股定理求得OE=1，然后求边长为1的等边三角形的面积即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（-1，0）、（3，0），四边形OABC是正方形，
∴A（1，2），
∴

0=a-b+c 0=9a+3b+c 2=a+b+c

 解得：

a=- 1 2 b=1 c= 3 2

∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（2）①∵由抛物线y=-x²+bx（b＞0）可知OB=b，
∵∠OAB=60°，
∴A（

b

2

，

3

2

b），
代入y=-x²+bx得：

3

2

b=-（

b

2

）²+b•

b

2

，解得：b=2

3

，
∴OB=2

3

，AC=6，
∴“抛物菱形OABC”的面积=

1

2

OB•AC=6

3

；
②存在；
当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=

1

2

∠AOB=30°，
同理∠BOF=30°，
∵∠EOF=60°
∴OB垂直EF且平分EF，
∴三角形OEF是等边三角形，
∵OB=

2 3

3

，
∴OE=1，
∴OE=OF=EF=1，
∴△OEF的面积=

3

4

．

点评：本题考查了“抛物菱形”的性质，抛物线的顶点坐标，正方形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求解析式，勾股定理的应用等．