Question

对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=4

2

时，
①在P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（4

2

，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是

 

；
②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为

 

；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是多少？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（4

2

，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x²+（y-2）²=32，求出x和y的值，再写出坐标．
（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．
②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E₁，交HD于E₂，当0＜r＜DT-DE₁时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE₂时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．

解答：解：（1）①连接AC和BD，交于点M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴M到正方形ABCD四条边距离都相等
∴⊙P一定通过点M，
∵A（2，4）
∴M（0，2）
设⊙P的圆心坐标是（x，y），
∴r=4

2

时，
∴x²+（y-2）²=（4

2

）²，
即，x²+（y-2）²=32，
把P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（4

2

，2）代入，只有P₂，P₃成立，
∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P₂，P₃
②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，
∴把y=-x+2代入x²+（y-2）²=32，得x²+x²=32，
解得x=±4，
∴y=-2或6，
∴P（4，-2）或P（-4，6）．
故答案为：P₂，P₃；（4，-2）或P（-4，6）．
（2）如下图：

①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，
∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．
∴点P在线段EI的中垂线上．
∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上，
∴E（0，2），I（3，5）
∴∠IEH=45°，
设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，
∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，
∴L（0，5），
∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM
∴M（5，0），
∴P在直线y=-x+5上，
∴设P（p，-p+5）
过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，
∵⊙P与BC所在直线相切，
∴PE=PQ，
∴p²+（-p+5-2）²=（p+2）²，
解得：p1=5+2

5

，p2=5-2

5

，
∴．P1(5+2

5

，-2

5

)，P2(5-2

5

，2

5

)．
∵⊙P过点E，且E点在y轴上，
∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2

5

-2|=4

5

+4或2|2

5

-2|=4

5

-4．
②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E₁，交HD于E₂，

当0＜r＜DT-DE₁时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
∵HF所在的直线为：y=-x+8，
DT所在的直线为：y=x-2，
∴T（5，3），
∵D（2，0），
∴DT=

32+(5-2)2

=3

2

，
∵DE=DE₁
∴DT-DE₁=DT-DE=3

2

-2

2

=

2

，
∴当0＜r＜

2

时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
当r＞HE₂时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
∵HE₂=HD+DE₂，DE₂=DE，
∴HE₂=HD+DE=

HO2+OD2

+2

2

=

82+22

+2

2

=2

17

+2

2

，
∴当r＞2

17

+2

2

时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．

点评：本题考查了圆综合题．一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“等距圆”的定义是正确解题的关键．