Question

已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，

在

•

(1)

•

的

•

条

•

件

•

下

•

，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质,特殊角的三角函数值

专题：综合题,压轴题,动点型,探究型

分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
（2）由DP=

1

2

DC=

1

2

AB=

1

2

AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进而求出∠OAB的度数．
（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长．

解答：解：（1）如图1，
①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴

OC

PD

=

OP

PA

=

CP

DA

=

1 4

=

1

2

．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8-x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8-x，
∴x²=（8-x）²+4²．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB的长为10．

（2）如图1，
∵P是CD边的中点，
∴DP=

1

2

DC．
∵DC=AB，AB=AP，
∴DP=

1

2

AP．
∵∠D=90°，
∴sin∠DAP=

DP

AP

=

1

2

．
∴∠DAP=30°．
∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，
∴∠OAB=30°．
∴∠OAB的度数为30°．

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=

1

2

PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，

∠QMF=∠BNF ∠QFM=∠BFN QM=BN

．
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=

1

2

QB．
∴EF=EQ+QF=

1

2

PQ+

1

2

QB=

1

2

PB．
由（1）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB=

82+42

=4

5

．
∴EF=

1

2

PB=2

5

．
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2

5

．

点评：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键．