Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点M是AB上的动点（不与A，B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

Answer 1

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴AN=x．
∴S=S_△MNP=S_△AMN=•x•x=x²．（0＜x＜4）

（2）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD．
AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴MN=．
∴OD=．
过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=．
在Rt△BMQ与Rt△BAC中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴，即=．
解得BM=x．
AB=BM+AM=x+x=4．
解得x=，即当x=时，⊙O与BC相切．
分析：（1）由△AMN∽△ABC得出AN，又S_△AMN=S_△MNP，求得△AMN的面积即可．
（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，并过点M作MQ⊥BC于Q，由（1）中△AMN∽△ABC得，则求得MN、OD，再证△BMQ∽△BCA，得，代入求得x的值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及切线的性质，综合性较强，难度较大．