Question

17．若记y=f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=$\frac{{1}^{2}}{1+{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
f（$\frac{1}{2}$）表示当x=$\frac{1}{2}$时y的值，即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$…；
则f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$）=2015.5．

Answer 1

分析 先根据已知的y代入计算求出f（2）、f（3）、f（$\frac{1}{3}$），发现f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$=1，f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{9}{10}$+$\frac{1}{10}$=1，…，f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$）=1；一共有2015个1，由此可以得出结果．

解答 解：∵f（1）=$\frac{{1}^{2}}{1+{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
f（2）=$\frac{{2}^{2}}{1+{2}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
f（3）=$\frac{{3}^{2}}{1+{3}^{2}}$=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{10}$…
∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$=1，f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{9}{10}$+$\frac{1}{10}$=1，…，f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$）=1；
则f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$），
=$\frac{1}{2}$+1+1+…+1，
=$\frac{1}{2}$+2015，
=2015.5，
故答案为：2015.5．

点评 本题既是求函数值问题，也是找规律问题，是数字类变化规律；此类题的解题思路为：根据已知所给式子，依次从1开始求值，并认真观察，总结规律，注意每个结果之间的关系；如果看不出来，尽量多计算几个函数值．