Question

24、如图1，等边△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且AD=BE=CF．
（1）△DEF是

等边

三角形；
（2）如图2，M为线段BC上一点，连接FM，在FM的右侧作等边△FMN，连接DM、EN．求证：DM=EN；
（3）如图3，将上题中“M为线段BC上一点”改为“点M为CB延长线上一点”，其余条件不变，求证：DM=EN．

Answer 1

分析：（1）等边△ABC中，AD=BE=CF．可得除△DEF之外的三个三角形全等，所以△DEF的三条边相等．
（2）证明DM=EN，证明△DFM≌△EFN即可．两个三角形分别有两边对应相等，只需求其夹角相等即可，即求∠DFM=∠EFN．
（3）即证明△MDF≌△NEF．同（2），只需求∠MFD=∠EFN即可．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，又AD=BE=CF
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF，
∴△DFE为等边三角形．
（2）由（1）得，DE=EF=DF，
又MF=MN=FM，∠DFM=∠EFM+60°，∠EFN=∠EFM+60°，
∴∠DFM=∠EFN，
∴△DFM≌△EFN
∴DM=NE．
（3）同理，DE=EF=DF，MF=MN=FM，
又∠MFD+∠MFE=60°，∠MFE+∠EFN=60°，
∴∠MFD=∠EFN，
∴△MDF≌△NEF，
∴DM=EN．

点评：熟练掌握等边三角形的性质及判定定理，能够快速证明两个三角形的全等．