Question

已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论：
①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB=150°；
④S_△APC+S_△APB=6+

9

2

3

，其中正确的结论有（　　）

A．①②④

B．①③④

C．①②③

D．②③④

Answer 1

分析：由线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，根据旋转的性质有AD=AP，∠DAP=60°，再根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，易得∠DAP=∠PAC，于是△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；△ADP为等边三角形，则有PD=PA=3；在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，则∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°；由△ADB≌△APC得S_△ADB=S_△APC，则有S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的

3

4

倍和直角三角形的面积公式即可得到S_△ADP+S_△BPD=

3

4

×3²+

1

2

×3×4=6+

9

4

3

，可判断④不正确．

解答：解：连PD，如图，
∵线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，
∴AD=AP，∠DAP=60°，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，
∴∠DAP=∠PAC，
∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以①正确；
∵DA=PA，∠DAP=60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴PD=PA=3，所以②正确；
在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，
∵3²+4²=5²，即PD²+PB²=BD²，
∴△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，
由②得∠APD=60°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正确；
∵△ADB≌△APC，
∴S_△ADB=S_△APC，
∴S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD=

3

4

×3²+

1

2

×3×4=6+

9

4

3

，所以④不正确．
故选C．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理．