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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时精英家教网，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．
    （1）求CD的长及∠1的度数；
    （2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；
    （3）求y与x之间的函数关系式．并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？
    分析：（1）将AB平移，使点A与点D重合，利用勾股定理，则可得出CD的长度，根据CD与AD的长度关系可得出∠DAC的度数，也就得出了∠1的度数．
    （2）根据点G落在BC上时，有GE=DE=x，EC=3
    		3
    -x    ，求出∠GEF=∠GEC=60°，然后根据GE=2CE列出方程即可得出x的值．
    （3）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可．
    解答：精英家教网解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
    ∵∠B=60°，
    ∴∠BAH=30°，
    ∴BH=
    1
    2
    AB=6×
    1
    2
    =3，AH=
    		AB2-BM2
    =3
    		3
    ，
    ∵∠D=∠BCD=90°，
    ∴四边形AHCD是矩形，
    ∴CD=AH=3
    		3
    ，
    ∵AD=9，
    ∴tan∠DAC=
    CD
    AD
    =
    		3
    3
    ，
    ∴∠DAC=30°，
    ∵EF∥AC，
    ∴∠1=∠DAC=30°，
    ∴CD=3
    		3
    ，∠1=30°；

    （2）若点G恰好在BC上，
    则有GE=DE=x，EC=3
    		3
    -x    ，
    ∵∠1=30°，
    ∴∠FED=60°，
    ∴∠GEF=60°，
    ∴∠GEC=60°，
    ∴GE=2CE，
    ∴x=2(3
    		3
    -x)    ，
    ∴x=2
    		3
    ；

    （3）∵△EFG≌△EFD，
    ①y=S△EFD=
    1
    2
    ×DE×DF=
    		3
    2
    x2    ，当0≤x≤2
    		3
    时，y随着x的增大，面积增大，
    此时△的面积就是重叠的面积，当x=2
    		3
    时，达到最大值，为6
    		3
    ．
    ②当3
    		3
    ＞x＞2
    		3
    ，△EFG就有一部分在梯形外，如图，
    精英家教网∵GE=DE=x，EC=3
    		3
    -x    ，
    易求ME=2(3
    		3
    -x)    ，
    ∴GM=GE-ME=x-2(3
    		3
    -x)=3x-6
    		3
    ，
    ∴NG=
    3x-6
    		3
    		3
    =
    		3
    x-6    ，
    ∴S△MNG=
    1
    2
    NG×MG=
    1
    2
    (
    		3
    x-6)(3x-6
    		3
    )=
    		3
    2
    (
    		3
    x-6)2    ，
    此时y=S△EFD-S△MNG=
    1
    2
    ×DE×DF-
    1
    2
    NG×MG=
    		3
    2
    x2-
    		3
    2
    (
    		3
    x-6)2=-
    		3
    (x2-6
    		3
    x+18)    ，
    =-
    		3
    (x2-6
    		3
    x+18)=-
    		3
    (x-3
    		3
    )2+9
    		3
    ，
    当x=3
    		3
    时，ymax=9
    		3
    ．
    综上所述．当x=3
    		3
    时，ymax=9
    		3
    ．
    点评：本题考查直角梯形与三角形的综合，难度较大，解答本题的关键是掌握基础知识，然后将所求的题目具体化，从而利用所学的知识建立模型，然后有序解答．
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    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
    cm．（结果精确到0.1cm）

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    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

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    （1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．
    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

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