Question

5．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer 1

分析 连结AC交BD于O点，如图，根据矩形的性质得OA=OC，再利用等角的补角相等，由∠AED=∠CED得到∠AEO=∠CEO，则可判断△AEC为等腰三角形，所以OE⊥AC，然后根据对角线互相垂直的矩形为正方形得到结论．

解答 证明：连结AC交BD于O点，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∵∠AED=∠CED，
∴∠AEO=∠CEO，
∴△AEC为等腰三角形，
∴OE⊥AC，
即AC⊥BD，
∴AC和BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形，
而∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．