Question

已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB²=AE•AC，BD=8，
（1）判断△ABD的形状并说明理由；
（2）求△ABD的面积．

Answer 1

（1）解：△ABD的形状是等腰三角形，
理由是：∵AB²=AE•AC，
∴=，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴∠ACB=∠DBA，
∴弧AD=弧AB，
∴AD=AB，
即△ABD是等腰三角形；


（2）解：分为两种情况：
①当点O在△ABD内时，连接AO延长到F交BD于F，连接OB，
∵AD=AB，⊙O是△ABD的外接圆，
∴O在BD的垂直平分线上，
∴根据等腰三角形三线合一定理得出：AF⊥BD，
∵OF过O，BD=8，
∴BF=BD=4，OA=OB=5，
在Rt△BFO中，OF==3，
∴AF=OA+OF=5+3=8，
∴△ABD的面积是×AF×BD=×8×8=32；
②当点O在△ABD外时，
连接AO交BD于点G，连接OB，
即AO⊥BD，BG=BD=4，OA=OB=5，
∵在Rt△BOG中，由勾股定理得：OG=3，
∴AG=OA-OG=5-3=2，
∴△ABD的面积是：×BD×AG=×2×8=8；
即△AND的面积是32或8．
分析：（1）根据已知推出△BAE∽△CAB，得出∠ACB=∠DBA，推出弧AD=弧AB即可；
（2）分为两种情况：画出图形①当点O在△ABD内时，连接AO延长到F交BD于F，连接OB，求出OF，求出AF、BF，根据三角形的面积求出即可；②当点O在△ABD外时，连接AO交BD于G，连接OB，求出OG，求出AG、BG，根据三角形的面积求出即可．
点评：本题考查了垂径定理，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的综合运用．