Question

1．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是线段BC上一点，∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于F．
（1）如图①，当C，D重合时，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明．（提示：延长CA与BE）
（2）如图②，当点D是线段BC上异于B，C两点的任意一点，而其他条件不变时，①中的结论是否还成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先延长CA与BE交于点G，根据∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，BE⊥DE，判断出BE=EG=$\frac{1}{2}$BG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE=$\frac{1}{2}$BG，可得BE=$\frac{1}{2}$FD，据此判断即可．
（2）首先过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，根据DG∥AC，∠BAC=90°，判断出∠BDE=∠EDG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△DEB≌△DEG，即可判断出BE=EG=$\frac{1}{2}$BG；最后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGH≌△DFH，即可判断出BG=FD，所以BE=$\frac{1}{2}$FD，据此判断即可．

解答 解：（1）如图①，延长CA与BE交于点G，，
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠EDG=∠BDG-∠BDE=∠C-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠BDE=∠EDG，
即CE是∠BCG的平分线，
又∵BE⊥DE，
∴BE=EG=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠BED=∠BAD=90°，∠BFE=∠CFA，
∴∠EBF=∠ACF，
即∠ABG=∠ACF，
在△ABG和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAG=∠CAF=90°}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△ACF，
∴BG=CF=FD，
又∵BE=$\frac{1}{2}$BG，
∴BE=$\frac{1}{2}$FD．

（2）如图②，过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，，
∵DG∥AC，∠BAC=90°，
∴∠BDG=∠C，∠BHD=∠BHG=∠BAC=90°，
又∵∠BDE=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠EDG=∠BDG-∠BDE=∠C-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠BDE=∠EDG，
在△DEB和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠EDG}\\{DE=DE}\\{∠DEB=∠DEG=90°}\end{array}\right.$
∴△DEB≌△DEG，
∴BE=EG=$\frac{1}{2}$BG，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠GDB，
∴HB=HD，
∵∠BED=∠BHD=90°，∠BFE=∠DFH，
∴∠EBF=∠HDF，
即∠HBG=∠HDF，
在△BGH和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBG=∠HDF}\\{HB=HD}\\{∠BHG=∠DHF}\end{array}\right.$
∴△BGH≌△DFH，
∴BG=FD，
又∵BE=$\frac{1}{2}$BG，
∴BE=$\frac{1}{2}$FD，
即①中的结论还成立．

点评 （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．②在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质，即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．