Question

（2012•浙江一模）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，点P是AC上的一个动点（P不与点A、点C重合），PQ⊥AB，垂足为Q，当PQ与△ABC的内切圆⊙O相切时，PC的值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：画出图形，证出△BCP′≌△BQ′P′，推出P′C=P′Q′，设P′C=P′Q′=a，证△AQ′P′∽△ACB，推出

P′Q′

BC

=

AP′

AB

，代入求出

a

3

=

4-a

5

，求出a即可．

解答：解：
当PQ到P′Q′时，与⊙O相切，
此时OB平分∠CBA，OP′平分∠CP′Q′，且B、O、P′共线，
在△BCP′和△BQ′P′中
∵

∠CBP′=∠Q′BP′ ∠C=∠BQ′P′ BP′=BP′

，
∴△BCP′≌△BQ′P′，
∴P′C=P′Q′，
设P′C=P′Q′=a，
∵∠A=∠A，∠C=∠P′Q′A=90°，
∴△AQ′P′∽△ACB，
∴

P′Q′

BC

=

AP′

AB

，
即

a

3

=

4-a

5

，
解得：a=

3

2

，
故选C．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆等知识点，通过做此题培养了学生的推理能力，此题综合性比较强，有一定的难度．