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(2002•黄冈)如图,BE是⊙O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连接OD,且∠AOD=∠APC.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若OC:CB=1:2,且AB=9,求⊙O的半径及sinA的值.

【答案】分析:(1)要证PA是⊙O的切线,只要连接OP,再证∠APO=90°即可.
(2)由切割线定理,勾股定理求出⊙O的半径,在直角三角形OAP中根据三角函数的定义求出sinA的值.
解答:(1)证明:连接OP,
∵PD⊥BE,
∴∠OCD=90°,
∴∠ODC+∠COD=90°;
∵OP=OD,
∴∠OPC=∠ODC,
∵∠APC=∠COD,
∴∠OPC+∠APC=90°,
∴∠APO=90°,
∴AP是⊙O的切线;

(2)解:∵PD⊥BE,BE为直径,
∴PC2=BC•CE;
设OC=x,
∵OC:CB=1:2,
∴CB=2x,CE=4x,
∴PC2=2x•4x=8x2
∵AC=AB+BC,AB=9,
∴AC2=(9+2x)2,由勾股定理,得AP2=AC2+PC2=(9+2x)2+8x2
又∵AP是⊙O的切线,ABE是⊙O的割线,
∴AP2=AB•AE,
即(9+2x)2+8x2=9×(9+6x),
解得:x1=1.5,x2=0(舍去);
∴⊙O的半径OP=OB=3x=4.5,
∴sinA=OP:AO=4.5:13.5=1:3.
点评:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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