Question

已知直角梯形ABCD中，∠DAB=∠B=90°，AD=4，DC=BC=8，将四边形ABCD折叠，使A与C重合，HK为折痕，则CH=________，AK=________．

Answer 1

7    5.6
分析：过点D作DE⊥BC于E，可得四边形ABED是矩形，根据矩形的对边相等求出BE=AD=4，然后求出CE=4，再根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出∠CDE=30°，再根据勾股定理列式求出DE，即可得到AB，设CH=x，根据翻折变换可得AH=CH=x，表示出BH=8-x，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理列式计算即可求出x；过点K作KF⊥AD的延长线于F，得到∠DKF=∠CDE=30°，设KD=2y，表示出DF=y，KF=y，再表示出AK、AF，然后在Rt△AKF中，利用勾股定理列式计算即可求出y，从而得解．
解答：如图，过D点作DE⊥BC于E，
∵∠DAB=∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=4，
∵BC=8，
∴CE=BC-BE=8-4=4，
又∵CD=8，
∴CD=2CE，
∴∠CDE=30°，
∴DE===4，
∴AB=DE=4，
设CH=x，根据翻折变换可得AH=CH=x，
∴BH=8-x，
在Rt△ABH中，AB²+BH²=AH²，
即（4）²+（8-x）²=x²，
x=7，
即CH=7；
过点K作KF⊥AD的延长线于F，则DE∥KF，
∴∠DKF=∠CDE=30°，
设KD=2y，则DF=KD=y，KF===y，
∴AF=AD+DF=4+y，CK=DC-KD=8-2y，
根据翻折的性质，AK=CK=8-2y，
在Rt△AFK中，AF²+KF²=AK²，
即（4+y）²+（y）²=（8-2y）²，
解得y=1.2，
∴AK=8-2×1.2=8-2.4=5.6．
故答案为：7；5.6．
点评：本题考查了翻折变换的性质，主要利用了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，本题难点在于作辅助线，构造出直角三角形，并把相应的线段转化为直角三角形的边是解题的关键．