Question

P是凸四边形内的一点，P与四个顶点连接得到的四条线段的长分别为1，2，3，4．那么，这个四边形的面积的最大值为（　　）

• A、10.5
• B、12
• C、12.5
• D、15

Answer 1

分析：首先讨论当两边a、b一定时，要是三角形的面积最大，必须两边的夹角最大，即是直角时，由此得到AC⊥BD，分别求出所有的情况，找出最大值即可．

解答：解：图（1）中，设△EFG的边FG=a、EG=b，过E作EH⊥FG于H，
sinG=

EH

b

，
∴EH=bsinG，
S_△EFG=

1

2

•FG•EH=

1

2

absinG，
要是△EFG的面积最大，当a、b一定时，sinG最大，
即sinG=1，即∠G=90°．
同理：连接PA、PB、PC、PD，
∵S_{四边形ABCD}=S_△PAB+S_△PBC+S_△PCD+S_△PAD，
要是四边形ABCD的面积最大，必须△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的面积最大，
由上面证明可知当两边一定时，两边的夹角是直角时面积最大，
即AC⊥BD时面积最大，
有下面三种情况：
（1）当BD=1+2=3，AC=3+4=7时，S=

1

2

×3×7=10.5；
（2）当BD=1+4=5，AC=2+3=5时，S=

1

2

×5×5=12.5；
（3）当BD=1+3=4，AC=2+4=6时，S=

1

2

×4×6=12；
∴四边形ABCD的面积的最大值是12.5．
故选C．

点评：本题主要考查了面积及等积变换，三角形的面积公式，解此题的关键是得出当两边一定时，两边的夹角是90°时，三角形的面积最大的结论．