Question

12．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD；②$\frac{AF}{CF}$=2；③sin∠CAD=$\frac{1}{2}$；④AB=BF．其中正确的结论有①②④（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 ①正确．四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB．
②正确由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以 $\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$．
③错误．设CF=a，AF=2a，由DF²=AF•CF=2a²，得DF=$\sqrt{2}$a，AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$a，可得sinCAD=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
④正确．连接AE，由∠ABE+∠AFE=90°，推出A、B、E、F四点共圆，推出∠AFB=∠AEB，由△ABE≌△CDE，推出∠AEB=∠CED，由∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，推出∠BAF=∠CED，推出∠BAF=∠BFA，即可证明．

解答 解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于点F，
∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CF}{AF}$，
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AD}{CE}$=2，
∴AF=2CE，故②正确，
设CF=a，AF=2a，由DF²=AF•CF=2a²，得DF=$\sqrt{2}$a，AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$a
∴sinCAD=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③错误．
连接AE，∵∠ABE+∠AFE=90°，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB，
∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，
∴∠BAF=∠CED，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，故④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，学会利用此时解决问题，属于中考常考题型．