Question

已知 四边形ABCD中，∠ABD=∠CBD=∠ACD=30°，BE=4，DE=2，则S_△ABC=

 

．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形

专题：

分析：作DF⊥AC．利用相似三角形△DCE∽△BDC的对应边成比例得到DC的长度；然后利用三角函数的定义和勾股定理逆定理推知△ABC为直角三角形．根据三角形的面积公式进行解答即可．

解答：解：作DF⊥AC．
∵∠DCA=∠DBC，∠BDC=∠BDC=30°，
∴△DCE∽△BDC，
∴DC：DE=BD：DC，
∵BE=4，DE=2，
∴DC=2

3

，
∴DF=

3

，CF=3
∵sin∠DEF=

DF

DE

=

3

2

，
∴∠DEF=60°，
∴∠EDF=30°．
∴EF=

1

2

ED=1，∠AEB=60°且∠BAE=30°，
∴∠BAE=90° 且BE=4，
∴AE=2，AB=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB×AC=6

3

．
故答案是：6

3

．

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是构造直角三角形，难度适中．