Question

已知，如图，AB，CD是半径为4的⊙O的两条直径，CD⊥AB，点P是

AC

上的一个动点，连接BP，交半径OC于点E，过点P的直线PH与OC延长线交于点H
（1）当PH=EH时，求证：直线PH是⊙O的切线；
（2）当E为OC中点时，求PC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OP，如图，由AB⊥CD得到∠1+∠OEB=90°，再证明∠HPE=∠OEB，加上∠1=∠2，得到∠2+∠HPE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到直线PH是⊙O的切线；
（2）如图，连结BD，先计算出BD=4

2

，再由E为OC中点得到OE=CE=2，接着证明△PCE∽△BDE，然后利用相似比可计算出PC的长．

解答：（1）证明：连结OP，如图，
∵AB⊥CD，
∴∠1+∠OEB=90°，
∵HP=HE，
∴∠HPE=∠HEP，
而∠HEP=∠OEB，
∴∠1+∠HPE=90°，
∵OB=OP，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠HPE=90°，即∠OPH=90°，
∴OP⊥PH，
∴直线PH是⊙O的切线；
（2）如图，连结BD，
∵AB⊥CD，OB=OD=4，
∴BD=4

2

，
∵E为OC中点，
∴OE=CE=2，
∴DE=OE+OD=6，
∵∠CPE=∠D，∠PCE=∠EBD，
∴△PCE∽△BDE，
∴

PC

BD

=

CE

DE

，即

PC

4 2

=

2

6

，
∴PC=

4 2

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．