Question

6．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A₁D₁过点C，EF为折痕，若∠B=60°，当A₁E⊥AB时，$\frac{BE}{AE}$的值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{8}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 先延长AB，D₁A₁交于点G，根据三角形三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC=BG=BA，设BE=1，AE=x=A₁E，则AB=1+x=BC=BG，A₁G=2x，在Rt△A₁GE中，依据勾股定理可得A₁E²+GE²=A₁G²，进而得出方程x²+（x+2）²=（2x）²，据此可得AE=1+$\sqrt{3}$，即可得出$\frac{BE}{AE}$的值．

解答 解：如图所示，延长AB，D₁A₁交于点G，
∵A₁E⊥AB，∠EA₁C=∠A=120°，
∴∠G=120°-90°=30°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠BCG=60°-30°=30°，
∴∠G=∠BCG=30°，
∴BC=BG=BA，
设BE=1，AE=x=A₁E，则AB=1+x=BC=BG，A₁G=2x，
∴GE=1+x+1=x+2，
∵Rt△A₁GE中，A₁E²+GE²=A₁G²，
∴x²+（x+2）²=（2x）²，
解得x=1+$\sqrt{3}$，（负值已舍去）
∴AE=1+$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．解题时注意方程思想的运用．