Question

在直角坐标系xOy 中，已知点P是反比例函数（x>0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A。
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由。
（2）如图2，OP运动到与x轴相交，设交点为B，C.当四边形ABCP是菱形时：   
①求出点A，B，C的坐标；
②在过A，B，C 三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP 面积的，若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由.

Answer 1

解：(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切.
∵ PA⊥OA，PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.又∵∠AOX = 90°，
∴∠PAO=∠OKP= ∠AOK= 90°.
∴四边形 OKPA是矩形.又∵OA=OK.
∴四边形 OKPA是正方形.
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x·则其纵坐标为过点P作PG⊥BC于G.    
∵四边形 ABCP为菱形.    
∴BC = PA = PB=PC
∴APBC为等边三角形.在Rt△PBG中，PBG= 60°，PB= PA=x，

解之得：x=±2(负值舍去).
∴PG=   PA= BC= 2.    易知四边形OGPA是矩形
PA=OG=2，BG=CG=1，    
∴OB= OG- BG= 1 , OC= OG+ GC= 3.    

②设二次函数解析式为：y=ax² +bx+c.

设直线 BP 的解析式为：y=ux十v，

过点A作直线AM//PB，