Question

13．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：
①△AEF∽△DCE；
②CE平分∠DCF；
③点B、C、E、F四个点在同一个圆上；
④直线EF是△DCE的外接圆的切线；
其中，正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，证出AE：DE=AE：CD，即可得出①正确；
先证出∠CEF=90°，由勾股定理求出EF=$\sqrt{5}$a，CE=2$\sqrt{5}$a，得出EF：CE=DE：CD，证出△CEF∽△CDE，得出∠FCE=∠DCE，得出CE平分∠DCF，②正确；
由∠B+∠CEF=180°，得出B、C、E、F四个点在同一个圆上，③正确；
由△DCE是直角三角形，得出外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，由EF⊥CE，得出直线EF是△DCE的外接圆的切线，④正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵BF=3AF，
设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，
∵AF：DE=1：2，AE：CD=1：2，
∴AE：DE=AE：CD，
∴△AEF∽△DCE，
∴①正确；∠AEF=∠DCE，
∵∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠CEF=90°，
∵EF=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，CE=$\sqrt{（2a）^{2}+（4a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∴EF：CE=1：2=DE：CD，
∴△CEF∽△CDE，
∴∠FCE=∠DCE，
∴CE平分∠DCF，
∴②正确；
∵∠B=90°，∠CEF=90°，
∴∠B+∠CEF=180°，
∴B、C、E、F四个点在同一个圆上，
∴③正确；
∵△DCE是直角三角形，
∴外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，
∵∠CEF=90°，
∴EF⊥CE，
∴直线EF是△DCE的外接圆的切线，
∴④正确，
正确的结论有4个．故选：D．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．