Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=-

2

x²+mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据A，B点坐标得出CO的长，即可得出C点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式解析式；
（2）根据已知得出∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，进而得出∠BEF=∠AOE；
（3）①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°，②如备用图①，当FE=FO时，③如备用图②，当EO=EF时，分别求出即可．

解答：解：（1）如图，∵A （-2，0）B （0，2），
∴OA=OB=2，∴AB=2

2

∵OC=AB，∴OC=2

2

，即C （0，2

2

）
又∵抛物线y=-

2

x²+mx+n的图象经过A、C两点，
则可得：

-4 2 -2m+n=0 n=2 2

，
解得：

m=- 2 n=2 2

，
∴抛物线的表达式为y=-

2

x²-

2

x+2

2

；

（2）证明：∵OA=OB∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE；

（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论
①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立．
②如备用图①，当FE=FO时，
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°，∴EF∥AO，∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由 （2）可知，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
∴EF=BF=OF=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴E（-1，1）
③如备用图②，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H，
 在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE E0=EF ∠AOE=BEF

，
∴△AOE≌△BEF（ASA），
∴BE=AO=2，
∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，
∴∠AOB=∠EHB，
∴EH∥AO，
∴∠BEH=∠BAO=45°，
在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°，
∴EH=BH=BEcos45°=2×

2

2

=

2

，
∴OH=OB-BH=2-

2

，
∴E（-

2

，2-

2

），
综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为：E（-1，1）或（-

2

，2-

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出E点坐标是解题关键．