Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴分别交于A（-3，0），B（1，0），C（0，3），D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点
（1）求抛物线解析式；
（2）F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE=

1

2

，求点O到直线AF的距离；
（3）点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A，B，C代入抛物线解析式即可求得a、b、c的值，即可解题；
（2）易求得顶点D坐标，即可求得AE的长度，根据tan∠AFE=

1

2

，可以求得EF的长，可得F点坐标，过O作OH⊥AF于点H，根据勾股定理可得AF的长，即可求得OH的长，即可解题；
（3）若存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形，则点Q（x，y）满足|y|=|EF|=4，讨论：
①当y=-4时，-x²-2x+3=-4，可得x的值，可求得点P坐标；②当y=4时，-x²-2x+3=4，可得x的值，可求得点P坐标；即可解题．

解答：解：（1）∵点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）是抛物线y=ax²+bx+c上点，
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3；
（2）如图，

当x=-

b

2a

=-1时，y=4，
∴顶点D坐标为（-1，4），
∴AE=-1-（-3）=2，
又∵tan∠AFE=

1

2

，
∴

2

EF

=

1

2

，
∴EF=4，
∴F点坐标为（-1，-4），
∵OH⊥AF于点H，
根据勾股定理得：AF²=AE²+EF²=2²+4²，
∴AF=2

5

，
∵

1

2

×2

5

•HO=

1

2

×2×4，
∴OH=

4 5

5

；
（3）若存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形，则点Q（x，y）满足|y|=|EF|=4，
①当y=-4时，-x²-2x+3=-4，
解得：x=-1±2

2

，
∴点Q坐标为（-1-2

2

，-4）（-1+2

2

，-4）
∴P₁ （-2

2

，0），P₂ （2

2

，0）；
②当y=4时，-x²-2x+3=4，
解得：x=-1，
∴Q坐标为（-1，4），
∴P₃ 坐标为（-2，0），
综上所述，符合条件的点有三个即：P₁ （-2

2

，0），P₂ （2

2

，0）；P₃ （-2，0）．

点评：本题考查了二次函数解析式的求解，考查了抛物线顶点的求解，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求得抛物线解析式是解题的关键．