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    8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m＜0）的顶点．
    （1）求A、B两点的坐标；
    （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）把抛物线解析整理，令y=0可求得x的值，则可求得A、B的坐标；
    （2）由A、B、C的坐标，可求得经过点A、B、C的抛物线解析式，连接BC、过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，则可设出P点坐标，从而表示出Q点坐标，则可求得PQ的长，从而用P点坐标表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得P点坐标和△PBC面积的最大值．

    解答 解：
    （1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），且m≠0，
    ∴当y=0时，可得m（x-3）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=3，
    ∴A（-1，0），B（3，0）；
    （2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
    则有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线C1解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$，
    如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
    设直线BC解析式为y=kx+s，则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+s=0}\\{s=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{s=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
    设P（x，$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$），则Q（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），
    ∴PQ=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x，
    ∴S△PBC=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x）×3=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{16}$，
    ∵-$\frac{3}{4}$＜0，
    ∴当x=$\frac{3}{2}$时，S△PBC有最大值，S最大=$\frac{27}{16}$，
    $\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）2-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{8}$，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．

    点评 本题为二次函数的综合应用，涉及一元二次方程、待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想的应用等知识．在（1）中把抛物线解析式因式分解可求得A、B的坐标，在（2）中求得抛物线C1的解析式，用P点的坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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    18．如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=8，E是AB上一点，沿DE折叠使A落在DB上，求AE的长．

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    19．已知a=$\sqrt{2}$+1，b=$\sqrt{2}$-1，求下列代数式的值：
    （1）ab
    （2）a2+ab+b2  
    （3）$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$．

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    16．如图所示，将长方形纸片先沿虚线AB向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展形图是（　　）
    A．B．C．D．

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    3．解答下列问题：
    （1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两根x1，x2（b2-4ac≥0）．用求根公式写出x1，x2，并证明x1+x2=-$\frac{b}{a}$，x1x 2=$\frac{c}{a}$
    （2）若一元二次方程x2+x-1=0的两根为m，n，运用（1）中的结论，求$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值．

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    13．已知二次函数C1：y=ax2+4ax（a≠0）的图象顶点为M，显然它与x轴一定有两个不同的交点．
    （1）求二次函数C1与x轴的两个交点的坐标；
    （2）若二次函数C1与一次函数y=-x-4只有一个交点，求二次函数C1的解析式；
    （3）将二次函数C1绕原点中心对称得到求二次函数C2，
    ①直接写出求二次函数C2的解析式（用含a式子表示）；
    ②二次函数C2的图象能否经过二次函数C1的图象顶点M？说明理由；
    ③直线x=1与二次函数C1、C2分别交于P、Q两点，已知：PQ=2，求二次函数C1的解析式．

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    20．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是高AD和BE的交点，∠CAD=30°，CD=4，求线段BF的长．

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    17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，如果用（1，0）表示C点的位置，用（4，1）表示B点的位置，那么．
    （1）画出直角坐标系；
    （2）画出与△ABC关于x轴对称的图形△DEF；
    （3）P为x轴上的一个动点，是否存在P使PA+PB的值最小？若不存在，请说明理由；若存在请求出点P的坐标和PA+PB的最小值．

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    18．将一组数据$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，3，2$\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$，…，3$\sqrt{10}$，按下面的方法进行排列：
    $\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，3，2$\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$；
    3$\sqrt{2}$，$\sqrt{21}$，2$\sqrt{6}$，3$\sqrt{3}$，$\sqrt{30}$；
    …
    若2$\sqrt{3}$的位置记为（1，4），2$\sqrt{6}$的位置记为（2，3），则这组数中最大的数的位置记为（　　）
    A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）

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