Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，点E在底边BC上，点F在AB上。

（1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，将△BEF的面积记为S₁，五边形AFECD的面积记为S₂，且S₁：S₂=k，求出k的最大值。

Answer 1

解：（1）由已知得梯形周长=36，高=8，面积=72， 由题意，BF=18-x， 过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AK⊥BC于点K，则△BF∽△BAK，可得FG=；
（2）不存在； 由（1），整理得：（x-9）2=-9，此方程无解， 不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分；
（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分， 只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2， ，要使k取最大值，只需S1取最大值， 与（1）同理，，， 当x=6时，S1取最大值，此时k=，∴k的最大值是。