Question

已知：如图，抛物线y=x²-bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，线段AB的垂直平分线交抛物线于N点，且点N到x轴的距离为4，
（1）求抛物线的解析式；
（2）过A、B、C三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴，y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
（3）在（2）的条件下，设P为弧CBD上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，给出以下两个结论：①AH•AP为定值；②为定值，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．

Answer 1

解：（1）由题意知：N点为抛物线的顶点，且纵坐标为-4；
则有：=-4，
解得b=±；
由于抛物线的对称轴在y轴右侧，
故b=不合题意，舍去；
∴该抛物线的解析式为：y=x²-x-3．

（2）易知：A（-，0），B（3，0），C（0，-3），D（0，3）；
则OA=，OB=3，OC=3，OD=3；
Rt△OAC中，OA=，OC=3，则∠OAC=60°，∠OCA=30°；
同理可证：∠ODM=∠OCA=∠OBC=30°，
∴∠ACB=90°，AB为⊙M的直径；
∵CE过点M，则CE是⊙M的直径，
∴连接CE，那么∠DCE=90°，
故CE∥x轴，C、E关于抛物线的对称轴对称，
则E（2，-3）；
已证∠ODM=∠OCA=30°，则AC∥DE，
而∠ACB=90°，
所以DE⊥BC；
∵EF是⊙M的切线，
∴CE⊥FG，
故FG∥BC；
由B（3，0），C（0，-3），易求得直线BC：y=x-3，
设直线FG的解析式为：y=x+h，将E点坐标代入上式，得：
×2+h=-3，h=-5；
∴直线FG的解析式为：y=x-5．

（3）∵D（0，-3），C（0，3），A（-，0），
∴OC=OD=3，OA=；
设AH=x，AP=y；
在Rt△AOH中，由勾股定理可得：OH=；
由相交弦定理知：AH•HP=DH•CH，即：
x（y-x）=（3+）（3-），
整理得：xy=12．
故①的结论正确，AH•AP为定值，其值为12．
分析：（1）由题意：线段AB的垂直平分线交抛物线于N点，那么点N必为抛物线的顶点，而N到x轴的距离为4，结合图形可知N点的纵坐标为-4，利用公式法即可求出b的值，然后根据抛物线对称轴的位置，将不合题意的b值舍去，即可求得该抛物线的解析式．
（2）根据（1）所得抛物线的解析式，易求得A、B、C三点的坐标，即可得到OA、OB、OC的长，可求得∠OAC=60°，∠OBC=30°，即∠ACB=90°，由此可推出AB是⊙M的直径，即M是AB的中点，那么DE也为⊙M的直径，若连接CE，则CE⊥DC，即CE∥x轴，根据抛物线的对称轴即可求出点E的坐标；根据圆的对称性知C、D关于原点对称，由此可得到D点的坐标，易求得OM、OD的长，即可得出∠ODM=∠OBC=30°，从而证得DE⊥BC，即BC∥FG，直线BC的解析式易求得，即可得到直线FG的斜率，将已求的点E坐标代入上式，即可确定出直线FG的解析式．
（3）①的结论是正确的．可设AH=x，AP=y，在Rt△AOH中，由勾股定理易求得OH=，由相交弦定理知：AH•HP=DH•CH，将各线段的数值（或表达式）代入上式，即可求得AH•AP的值．
（另一种解法，连接CP，通过证△ACH∽△APC，利用相似三角形的比例线段来证明．）
点评：此题是二次函数与圆的综合题，考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、解直角三角形、平行线的判定和性质、相交弦定理等知识，综合性强，难度较大．