Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S_△MFQ：S_△MEB=1：3时，求点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；
（2）根据点M的坐标表示出点Q、E的坐标，再设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点F的坐标，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面积，然后列出方程并根据m的取值范围整理并求解得到m的值，再根据点M在抛物线上求出n的值，然后写出点M的坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
∴y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x²-3x+

9

4

）+

9

8

+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴顶点坐标为（

3

2

，

25

8

）；

（2）∵M（m，n），
∴Q（0，n），E（3-m，n），
设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），M（m，n）代入得

4k+b=0 mk+b=n

，
解得

k= n m-4 b= 4n 4-m

，
∴y=

n

m-4

x+

4n

4-m

，
令x=0，则y=

4n

4-m

，
∴点F的坐标为（0，

4n

4-m

），
∴MQ=|m|，FQ=|

4n

4-m

-n|=|

mn

4-m

|，ME=|3-m-m|=|3-2m|，
∴S_△MFQ=

1

2

MQ•FQ=

1

2

|m|•|

mn

4-m

|=

1

2

|

m2n

4-m

|，
S_△MEB=

1

2

ME•|n|=

1

2

•|3-2m|•|n|，
∵S_△MFQ：S_△MEB=1：3，
∴

1

2

|

m2n

4-m

|×3=

1

2

•|3-2m|•|n|，
即|

3m2

4-m

|=|3-2m|，
∵点M（m，n）在对称轴左侧，
∴m＜

3

2

，
∴

3m2

4-m

=3-2m，
整理得，m²+11m-12=0，
解得m₁=1，m₂=-12，
当m₁=1时，n₁=-

1

2

×1²+

3

2

×1+2=3，
当m₂=-12时，n₂=-

1

2

×（-12）²+

3

2

×（-12）+2=-88，
故点M的坐标为（1，3）或（-12，-88）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，此题运算较为复杂，用m、n表示出△MFQ和△MEB的相应的边长，然后根据两个三角形的面积的关系列出方程是解题的关键．