Question

（1）如图1，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是

 

（2）如图2，一副三角板叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0＜α＜180），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，由AC=9，OA=3得OC=6，再根据旋转的性质得OD=OP，∠DOP=60°，然后证明△AOP≌△CDO，所以AP=OC=6；
（2）根据旋转的定义旋转角为∠BAD，分类讨论：当CD∥AB时，如图①；当AC∥OB时，如图②；当CD∥OA时，如图③；当AD∥OB时，如图④；当CD∥OB时，如图⑤，然后根据平行线的性质和旋转的性质求∠DAB的度数．

解答：（1）解：如图1，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵AC=9，OA=3，
∴OC=6，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上
∴OD=OP，∠DOP=60°，
∴∠AOP+∠COD=120°，
而∠AOP+∠APO=120°，
∴∠COD=∠APO，
在△AOP和△CDO中

∠A=∠C ∠APO=∠COD OP=OD

，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6．
故答案为6；
（2）在△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBA=45°；在△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=60°，∠ADC=30°，
当CD∥AB时，如图①，∠BAD=∠ADC=30°，旋转角为∠BAD，所以α=30°；
当AC∥OB时，如图②，∠CAD=∠BOA=90°，AD与OA共线，
旋转角为∠DAB，所以α=45°；
当CD∥OA时，如图③，∠ADC=∠OAD=30°，则∠DAB=∠OAD+∠OAB=30°+45°=75°，旋转角为∠DAB，所以α=75°；
当AD∥OB时，如图④，∠DAO=∠BOA=90°，∠ADB=∠DAO+∠OAB=135°，旋转角为∠DAB，所以α=135°；
当CD∥OB时，如图⑤，延长OA交CD于E，则∠DEA=∠AOB=90°，而∠D=30°，所以∠DAE=60°，∠DAO=120°，所以∠DAB=120°+45°=165°，
旋转角为∠DAB，所以α=165°，
综上所述，旋转角α的值为30°，45°，75°，135°，165°．
故答案为30°，45°，75°，135°，165°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质和平行线的性质．