Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC=2∠B，AC=6，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于P．
（1）求PA的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）求出∠ACB=90°，∠B=30°，∠BAC=60°，根据切线的性质得出∠PAO=90°，∠CAP=30°，推出△ACO是等边三角形，得出∠COA=60°，AO=AC=6，求出∠P=30°，在Rt△PAO中解直角三角形求出即可；
（2）在Rt△BCA中，由勾股定理求出BC=6

3

，根据阴影部分的面积S=

1

2

S_圆O-S_△ACB代入求出即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=30°，∠BAC=60°，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAO=90°，
∴∠CAP=90°-60°=30°，
∵OC=OA，∠BAC=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠COA=60°，AO=AC=6，
∴∠P=90°-60°=30°，
在Rt△PAO中，tan30°=

OA

PA

，
∴PA=

6

tan30°

=6

3

；

（2）∵在Rt△BCA中，∠B=30°，AB=2×6=12，AC=6，
∴由勾股定理得：BC=6

3

，
∴阴影部分的面积S=

1

2

S_圆O-S_△ACB=

1

2

×π×6²-

1

2

×6×6

3

=18π-18

3

．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，三角形的面积，勾股定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中．