Question

20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与$y=-\frac{3}{4}x+3$交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A的坐标．
（2）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式，解方程组可求得A点坐标；
（2）可设E（t，t+1），当AO为平行四边形的边时，则有DE∥AO，可求得直线AO的解析式，则用t可表示出直线DE的解析式，联立直线DE和直线AC解析式可求得D点坐标，从而可用t表示出DE的长，再由DE=AO可得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得E点坐标；当AO为平行四边形的对角线时，可求得线段AO的中点，从而可用t表示出D点坐标，代入直线AC解析式可得到关于t的方程，可求得E点坐标．

解答 解：
（1）联立直线AC与直线AB解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{7}}\\{y=\frac{15}{7}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）；
（2）∵点E在直线AB上，
∴可设E（t，t+1），
当AO为平行四边形的边时，则有DE∥AO，且DE=AO，
∵A（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∴直线AO解析式为y=$\frac{15}{8}$x，
∴可设直线DE解析式为y=$\frac{15}{8}$x+b，
把E点坐标代入可得t+1=$\frac{15}{8}$t+b，解得b=1-$\frac{7}{8}$t，
∴直线DE解析式为y=$\frac{15}{8}$x+1-$\frac{7}{8}$t，
联立直线AC和直线DE解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=\frac{15}{8}x+1-\frac{7}{8}t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}t+\frac{16}{21}}\\{y=-\frac{1}{4}t+\frac{17}{7}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{1}{3}$t+$\frac{16}{21}$，-$\frac{1}{4}$t+$\frac{17}{7}$），
∴DE=$\sqrt{（t-\frac{1}{3}t-\frac{16}{21}）^{2}+（t+1+\frac{1}{4}t-\frac{17}{7}）^{2}}$，
∵AO=$\sqrt{（\frac{8}{7}）^{2}+（\frac{15}{7}）^{2}}$，
∴$\sqrt{（t-\frac{1}{3}t-\frac{16}{21}）^{2}+（t+1+\frac{1}{4}t-\frac{17}{7}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8}{7}）^{2}+（\frac{15}{7}）^{2}}$，解得t=$\frac{20}{7}$或t=-$\frac{4}{7}$，
此时E点坐标为（$\frac{20}{7}$，$\frac{27}{7}$）或（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$）；
当AO为对角线时，
∵A（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∴线段AO的中点坐标为（$\frac{4}{7}$，$\frac{15}{14}$），
∵E（t，t+1），
∴D（$\frac{8}{7}$-t，$\frac{15}{7}$-t-1），
∵D在直线AC上，
∴$\frac{15}{7}$-t-1=-$\frac{3}{4}$（$\frac{8}{7}$-t）+3，解得t=-$\frac{4}{7}$，此时E点坐标为（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$）；
综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（$\frac{20}{7}$，$\frac{27}{7}$）或（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、勾股定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意交点坐标的求法，在（2）中用E点的坐标表示出D点的坐标是解题的关键，注意分AO为平行四边形的边和对角线两种情况进行讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．