Question

（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．
（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
（3）平面上有n条直线．每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多，记为a_n，试研究a_n与n之间的关系．

Answer 1

解：（1）如图①，两条直线可以把平面分成3或4个部分；如图②，三条直线可以把平面分成4或6或7个部分；

（2）如图③，四条直线最多可以把平面分成11部分；四条直线的位置关系：四条直线两两相交；

（3）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，则n条最多可以把平面分成：a_n=．
分析：（1）分别得到两条直线平行和相交，三条直线平行和交于一点和两两相交的结果．
（2）只有四条直线两两相交时，才能将平面分的最多；分别画出图形即可求得所分平面的部分；
（3）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．
因为n=1，a₁=1+1
n=2，a₂=a₁+2
n=3，a₃=a₂+3
n=4，a₄=a₃+4
…
n=n，a_n=a_n-1+n
以上式子相加整理得，a_n=1+1+2+3+…+n=1+．
点评：本题考查了规律型：图形的变化，找到a_n=1+1+2+3+…+n=1+是解题的关键．第（1）题注意分类讨论．