Question

如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=

4

3

x²+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出A和C点的坐标，并将其代入抛物线的解析式，即可求出；
（2）S_{四边形ABDC}=S_△EDB-S_△ECA，通过求D、B和E点的坐标，根据三角形的面积公式，求出S_△EDB和S_△ECA．
（3）分三种情况进行讨论：①∠PMN=90°，②∠PNM=90°，③∠MPN=90°．

解答：解：（1）∵一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A （-1，0）C （0，-4），
把A （-1，0）C （0，-4）代入y=

4

3

x²+bx+c得
∴

4 3 -b+c=0 c=-4

，解得

b=- 8 3 c=-4

，
∴y=

4

3

x²-

8

3

x-4；

（2）∵y=

4

3

x²-

8

3

x-4=

4

3

（ x-1）²-

16

3

，
∴顶点为D（1，-

16

3

），
设直线DC交x轴于点E，
由D（1，-

16

3

）C （0，-4），
易求直线CD的解析式为y=-

4

3

x-4，
易求E（-3，0），B（3，0），
S_△EDB=

1

2

×6×

16

3

=16，
S_△ECA=

1

2

×2×4=4，
S_{四边形ABDC}=S_△EDB-S_△ECA=12；
（3）设M、N的纵坐标为a，
由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为：y=

4

3

x-4，
则M（

-4-a

4

，a），N（

3a+12

4

，a），
①当∠PMN=90°，MN=a+4，PM=-a，因为是等腰直角三角形，则-a=a+4 则a=-2 则P的横坐标为-

1

2

，
即P点坐标为（-

1

2

，0）；
②当∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=-2，则P的横坐标为

3×(-2)+12

4

=

3

2

，
即P点坐标为（

3

2

，0）；
③当∠MPN=90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ=-a，
又PM=PN，∴PQ⊥MN，则MN=2PQ，即：a+4=-2a，
解得：a=-

4

3

，
点P的横坐标为：

-4-a+3a+12 4

2

=

a+4

4

=

2

3

，
即P点的坐标为（

2

3

，0）．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，难度较大，这就需要二次函数各部分知识的熟练掌握，以便灵活运用．