Question

3．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA向终点A运动，速度为2cm/s，当一个到达终点时，另一个也停止运动．设它们运动的时间为x（s）．
（1）求x为何值时，PQ⊥AC；
（2）用关于x的代数式表示△PQD的面积y；
（3）求出当△PQD的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{8}$时x的值
（4）探索以PQ为直径的圆与AC何时相切、相交，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．

Answer 1

分析 （1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）首先画出符合题意的图形，再根据路程=速度×时间表示出BP，CQ的长，根据等边三角形的三线合一求得PD的长，根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高，再根据面积公式进行求解；
（3）根据（2）中得出的函数关系式代入即可得出；
（4）利用直线和圆相切是直线和圆的位置关系的特殊性，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=$\frac{4}{5}$；
（2）如图，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=$\sqrt{3}$x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴DP=2-x，
∴y=$\frac{1}{2}$PD•QN=$\frac{1}{2}$（2-x）•$\sqrt{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x；
（3）由（2）知，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x；
∵△PQD的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$

（4）由（1）可知，当x=$\frac{4}{5}$时，以PQ为直径的圆与AC相切；
当0≤x＜$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{5}$＜x≤2时，以PQ为直径的圆与AC相交．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解．解题的关键是用动点的时间x和速度表示线段的长度，本题有一定的综合性，难度中等．