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(2013•威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y=
1
2
x+
3
2
与直线y=x交于点A,点B在直线y=
1
2
x+
3
2
上,∠BOA=90°.抛物线y=ax2+bx+c过点A,O,B,顶点为点E.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标;
(3)设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,直线BC交抛物线于点D,过点E作FE∥x轴,交直线AB于点F,连接OD,CF,CF交x轴于点M.试判断OD与CF是否平行,并说明理由.
分析:(1)由直线y=
1
2
x+
3
2
与直线y=x交于点A,列出方程组
y=x
y=
1
2
x+
3
2
,通过解该方程组即可求得点A的坐标;根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=-x,则
y=-x
y=
1
2
x+
3
2
,通过解该方程组来求点B的坐标即可;
(2)把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式,列出关于系数a、b、c的方程组,通过解方程组即可求得该抛物线的解析式;
(3)如图,作DN⊥x轴于点N.欲证明OD与CF平行,只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可.
解答:解:(1)由直线y=
1
2
x+
3
2
与直线y=x交于点A,得
y=x
y=
1
2
x+
3
2

解得,
x=3
y=3

∴点A的坐标是(3,3).
∵∠BOA=90°,
∴OB⊥OA,
∴直线OB的解析式为y=-x.
又∵点B在直线y=
1
2
x+
3
2
上,
y=-x
y=
1
2
x+
3
2

解得,
x=-1
y=1

∴点B的坐标是(-1,1).
综上所述,点A、B的坐标分别为(3,3),(-1,1).

(2)由(1)知,点A、B的坐标分别为(3,3),(-1,1).
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A,O,B,
9a+3b+c=3
c=0
a-b+c=1

解得,
a=
1
2
b=-
1
2
c=0

∴该抛物线的解析式为y=
1
2
x2-
1
2
x,或y=
1
2
(x-
1
2
2-
1
8

∴顶点E的坐标是(
1
2
,-
1
8
);

(3)OD与CF平行.理由如下:
由(2)知,抛物线的对称轴是x=
1
2

∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,
∴C(
1
2
1
2
).
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),把B(-1,1),C(
1
2
1
2
)代入,得
-k+b=1
1
2
k+b=
1
2

解得,
k=-
1
3
b=
2
3

∴直线BC的解析式为y=-
1
3
x+
2
3

∵直线BC与抛物线交于点B、D,
∴-
1
3
x+
2
3
=
1
2
x2-
1
2
x,
解得,x1=
4
3
,x2=-1.
把x1=
4
3
代入y=-
1
3
x+
2
3
,得y1=
2
9

∴点D的坐标是(
4
3
2
9
).
如图,作DN⊥x轴于点N.
则tan∠DON=
DN
ON
=
1
6

∵FE∥x轴,点E的坐标为(
1
2
,-
1
8
).
∴点F的纵坐标是-
1
8

把y=-
1
8
代入y=
1
2
x+
3
2
,得x=-
13
4

∴点F的坐标是(-
13
4
,-
1
8
),
∴EF=
1
2
+
13
4
=
15
4

∵CE=
1
2
+
1
8
=
5
8

∴tan∠CFE=
CE
EF
=
1
6

∴∠CFE=∠DON.
又∵FE∥x轴,
∴∠CMN=∠CFE,
∴∠CMN=∠DON,
∴OD∥CF,即OD与CF平行.
点评:本题考查了二次函数综合题.其中涉及到的知识点有:待定系数法求二次函数解析式,一次函数与二次函数交点问题,平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点.此题难度较大.
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