Question

已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．
（1）求证：OC=OD；
（2）若∠DBE=90°，BD=3，BE=4，求四边形AFBE的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AC∥DB，
∴∠CAB=∠ABD，
在△AOC与△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC=OD；

（2）解：∵∠DBE=90°，BD=3，BE=4，
∴S_△BDE=BD•BE=×3×4=6，
∵E、F分别是OC、OD中点，
∴FD=OF=OE=CE，
∴S_△BOF=S_△BDE=×6=2，
∵AO=BO，CO=DO，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴四边形AFBE的面积=2×4=8．
分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB=∠ABD，再利用角边角定理证明△AOC与△BOD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据直角三角形的面积公式求出△DBE的面积，再根据点E、F分别是OC、OD的中点，可得FD=OF=OE=CE，然后根据等底等高的三角形的面积相等可以求出一个三角形的面积，然后证明四边形AEBF是平行四边形，并求出其面积即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等的性质，以及平行四边形的判定与性质，是综合题，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．