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    如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．
    （1）判断并说明BH和AF的数量关系；
    （2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°），设AB=a，EH=b，且a＜2b．
    ①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围；当x取最大值时，直接写出θ的值；
    ②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a与b的数量关系．

    【答案】分析：（1）根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
    （2）①连接EG，根据正方形的性质求出AE、EG，再根据三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边可知A、E、G三点共线，且AE+AG=EG时，AG最小，AE+EG=AG时，AG最大，然后求解即可；
    ②根据平行四边形的对边平行且相等可得AH∥BD，AH=BD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EAH=90°，再根据正方形的性质求出AE、BD，然后在Rt△AEH中，利用勾股定理列式整理即可得解．
    解答：解：（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，
    ∵四边形EFGH是正方形，
    ∴EF=EH，
    ∵在△BEH和△AEF中，
    ，
    ∴△BEH≌△AEF（SAS），
    ∴BH=AF；

    （2）①连接EG，
    ∵AB=a，EH=b，
    ∴AE=AC=a，EG=b，
    根据三角形的三边关系，AG＞EG-AE，AG＜AE+EG，
    ∴当AG=EG-AE时，AG最小，AG=AE+EG时，AG最大，
    b-a≤x≤b+a；
    x取得最大值时，θ=135°；
    ②如图，∵四边形ABDH是平行四边形，
    ∴AH∥BD，AH=BD，
    ∴∠EAH=∠AEB=90°，
    在Rt△AEH中，AE2+AH2=EH2，
    ∴（a）2+（a）2=b2，
    整理得，a=b．
    点评：本题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，旋转的性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）①考虑用不变的量表示变化的量是解题的关键．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读与理解：
    三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
    即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
    则S△ABD=S△ACD=
    1
    2
    S△ABC    ．
    理由：∵BD=CD，∴S△ABD=
    1
    2
    BD×AH=
    1
    2
    CD×AH=S△ACD    =
    1
    2
    S△ABC    ，
    即：等底同高的三角形面积相等．
    操作与探索
    在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
    （1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=
     
    （用含a的代数式表示）；
    （2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=
     
    （用含a的代数式表示），并写出理由；
    （3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3=
     
    （用含a的代数式表示）．
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    拓展与应用
    如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    成立．（考生不必证明）
    （1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    （2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．
    （3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    还成立吗？
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在直角坐标系xoy中，将面积为3的直角三角形AGO沿直线y=x翻折，得到三角形CHO，连接AC，已知反比例函数y=
    kx
    (x＞0)    的图象过A、C两点，如图①．
    （1）k的值是
     
    ；
    （2）在直线y=x图象上任取一点D，作AB⊥AD，AC⊥CB，线段OD交AC于点F，交AB于点E，P为直线OD上一动点，连接PB、PC、CE．
    ㈠如图②，已知点A的横坐标为1，当四边形AECD为正方形时，求三角形PBC的面积；
    ㈡如图③，若已知四边形PEBC为菱形，求证四边形PBCD是平行四边形；
    ㈢若D、P两点均在直线y=x上运动，当∠ADC=60°，且三角形PBC的周长最小时，请直接写出三角形PBC与四边形ABCD的面积之比．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•太原一模）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．
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    ①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围；当x取最大值时，直接写出θ的值；
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    如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．

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