Question

4．如图，已知点A（6$\sqrt{3}$，0），点B（0，6），经过AB的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点P向y轴引垂线．根据已知点A、B的坐标可以求得∠BAO=30°，从而可以结合题意，利用解直角三角形的知识进行求解；
（2）如图2，此题应分作两种情况考虑：
①当P位于OC左侧，⊙P与OC第一次相切时，易证得∠COB=∠BAO=30°，设直线l与OC的交点为M，根据∠BOC的度数，即可求得B′M、PM的表达式，而此时⊙P与OC相切，可得PM=1，由此可列出关于t的方程，求得t的值，进而可判断出⊙P与CD的位置关系；
②当P位于OC右侧，⊙P与OC第二次相切时，方法与①相同．

解答 解：（1）如图1，作PF⊥y轴于F，
∵点A（6$\sqrt{3}$，0），点B（0，6），
∴∠BAO=30°，
在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，
则B′F=$\frac{t}{2}$，PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
又∵BB′=t，
∴OF=OB-BB′-B′F=6-t-$\frac{t}{2}$=6-$\frac{3}{2}$t，
则P点的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}t$，6-$\frac{3}{2}$t）；

（2）如图2，此题应分为两种情况：
①当⊙P和OC第一次相切时，
设直线B′P与OC的交点是M，
根据题意，知∠BOC=∠BAO=30°，
则B′M=$\frac{1}{2}$OB′=3-$\frac{t}{2}$
则PM=3-$\frac{3}{2}t$，
根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得
3-$\frac{3}{2}t$=1，t=$\frac{4}{3}$，
此时⊙P与直线CD显然相离；
②当⊙P和OC第二次相切时，
则有$\frac{3}{2}$t-3=1，t=$\frac{8}{3}$，
此时⊙P与直线CD显然相交，
综上所述：当t=$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$时⊙P和OC相切，t=$\frac{4}{3}$时⊙P和直线CD相离，当t=$\frac{8}{3}$时⊙P和直线CD相交．

点评 本题主要考查了解直角三角形、直线和圆的位置关系，作出适当的辅助线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．