Question

9．如图，△ABC中，∠ABC=90°，D为BC上一点，且BD=AB，连接AD，E是AC上一点，∠ABE=∠BDE且∠C+2∠EBC=90°．
（1）求证：DE²+BE²=DB²；
（2）已知DE=2，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用等量代换得出∠BDE=90°，利用勾股定理得出结论；
（2）作∠BAC的平分线交BE于点H，证得BH=EH=$\frac{1}{2}$BE，RT△ABE≌RT△BDE，进一步得出结论即可．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵∠ABE=∠BDE，
∴∠BDE+∠EBC=90°，
∴∠BED=90°，
∴DE²+BE²=DB²．
（2）解：如图，

作∠BAC的平分线交BE于点H，则∠BAC=2∠BAH，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∵∠C+2∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠BAH，
∵∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AHB=90°=∠BED，BH=EH=$\frac{1}{2}$BE，
在RT△ABH与RT△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠AHB=∠BED}\\{∠BAH=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴RT△ABH≌RT△BDE，
∴BH=DE=2，
∴BE=2BH=4．

点评 此题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，搞清角与边之间的数量关系解决问题．