Question

如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．

（1）已知：∠APC=90°，求证：△ABP∽△PDC．
（2）已知：AB=2，CD=3，BD=7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．
（3）已知：AB=2，CD=3，点P是直线BD上的一动点，设PB=x，BD=y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B与∠D为直角，又∠APC=90°，则∠APB+∠CPD=90°，可以得出∠A=∠CPD，从而证出△ABP∽△PDC．
（2）设PB=x，则PD为（7-x），然后分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值．
（3）分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式．

解答：解：（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°①，
∴∠A+∠APB=90°，
又∵∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD②，
∴由①②，△ABP∽△PDC．

（2）设PB=x，则PD为（7-x），
①△ABP∽△PDC时，

AB

PD

=

BP

CD

，
即

2

7-x

=

x

3

，
解得，（x-1）（x-6）=0，
x=1或x=6，
②△ABP∽△CDP．

AB

CD

=

BP

PD

，
即

2

3

=

x

7-x

，
解得x=

14

5

．
综上所述，PB=1，或PB=6，或PB=

14

5

．

（3）①△ABP∽△PDC时，

AB

PD

=

BP

CD

，
即

2

y-x

=

x

3

，
整理得，y=x+

6

x

；
②△ABP∽△CDP．

AB

CD

=

BP

PD

，

2

3

=

x

y-x

整理得，y=

5

2

x．
③△ABP∽△PDC时，

AB

PD

=

BP

CD

，
∵PD=PB-BD=x-y，

2

x-y

=

x

3

，
y=x-

6

x

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三道题步步深入，前一道题为后面的题提供思路，要注意这一点，同时题目也体现了分类讨论思想的重要作用．