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(2011•梅州)如图,点P在平行四边形ABCD的CD边上,连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.
(1)求证:△DQP∽△CBP;
(2)当△DQP≌△CBP,且AB=8时,求DP的长.
分析:(1)由图可知∠QPD=∠CPB(对顶角),又AD平行于BC,所以∠QDP=∠CPB,所以△DQP与△CBP相似;
(2)△DQP≌△CBP,DP=CP=
1
2
CD,AB=CD=8,继而即可得出答案.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AQ∥BC,
∴∠QDP=∠BCP,
又∠QPD=∠CPB,
∴△DQP∽△CBP;

(2)解:∵△DQP≌△CBP,
∴DP=CP=
1
2
CD,
∵AB=CD=8,
∴DP=4.
点评:本题考查平行四边形、全等三角形的性质及相似三角形的判定,解题关键是对这些知识的熟练掌握,难度一般.
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(2011•梅州)如图,在 Rt△ABC中,∠B=90°.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知∠BAE=30°,则∠C的度数为
30
30
°.

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(2011•梅州)如图,在平面直角坐标系中,点A(-4,4),点B(-4,0),将△ABO绕原点O按顺时针方向旋转135°得到△A1B1O.回答下列问题:(直接写结果)
(1)∠AOB=
45
45
°;
(2)顶点A从开始到A1经过的路径长为
3
2
π
3
2
π

(3)点B1的坐标为
(2
2
,2
2
(2
2
,2
2

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(2011•梅州)如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC.将△ACD沿对角线AC翻折后,点D恰好与边AB的中点M重合.
(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由;
(2)当AB=4时,求此梯形的面积.

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(2011•梅州)如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.
(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=
a
a
;(直接写结果)
(2)连接AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动面变化?请说明理由;
(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)

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