Question

问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
解：由图可知：M=a²+b²，N=2ab．
∴M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²．
∵a≠b，∴（a-b）²＞0．
∴M-N＞0．
∴M＞N．
类比应用
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为

a+b

2

元/千克和

2ab

a+b

元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M₁、N₁的大小（b＞c）．

联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

Answer 1

分析：类比应用（1）首先得出

a+b

2

-

2ab

a+b

=

(a+b) 2-4ab

2(a+b)

=

(a-b) 2

2(a+b)

，进而比较得出大小关系；
（2）由图形表示出M₁=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N₁=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，利用两者之差求出即可．
联系拓广：分别表示出图5的捆绑绳长为L₁，则L₁=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，图6的捆绑绳长为L₂，则L₂=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，图7的捆绑绳长为L₃，则L₃=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系．

解答：解：类比应用
（1）

a+b

2

-

2ab

a+b

=

(a+b) 2-4ab

2(a+b)

=

(a-b) 2

2(a+b)

，
∵a、b是正数，且a≠b，
∴

(a-b) 2

2(a+b)

＞0，
∴

a+b

2

＞

2ab

a+b

，
∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高；

（2）由图知，M₁=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，
N₁=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，
M₁-N₁=2a+4b+2c-（2a+2b+4c）=2（b-c），
∵b＞c，
∴2（b-c）＞0，即：M₁-N₁＞0，
∴M₁＞N₁，
∴第一个矩形大于第二个矩形的周长．
联系拓广
设图5的捆绑绳长为L₁，则L₁=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，
设图6的捆绑绳长为L₂，则L₂=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，
设图7的捆绑绳长为L₃，则L₃=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，
∵L₁-L₂=4a+4b+8c-（4a+4b+4c）=4c＞0，
∴L₁＞L₂，
∵L₃-L₂=6a+4b+6c-（4a+4b+4c）=2a+2c＞0，
∴L₃-L₁=6a+4b+6c-（4a+4b+8c）=2（a-c），
∵a＞c，
∴2（a-c）＞0，
∴L₃＞L₁．
∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长．

点评：此题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键．