Question

3．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}①}\\{x+y+z=27②}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先设方程①为k，然后得到：x+y=2k，y+z=3k，z+x=4k，然后三个式子相加，再代入②，求出k的值，从而得到关于x、y、z的方程组，进而利用消元的思想解答即可．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}①}\\{x+y+z=27②}\end{array}\right.$，
设$\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}$=k，
则x+y=2k③，y+z=3k④，z+x=4k⑤，
③+④+⑤得：x+y+z=$\frac{9}{2}$k⑥，
将⑥代入②得：$\frac{9}{2}k$=27，
解得：k=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=12}\\{y+z=18}\\{z+x=24}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=3}\\{z=15}\end{array}\right.$．
∴原方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=3}\\{z=15}\end{array}\right.$．

点评 此题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是：将原方程组转化为：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=12}\\{y+z=18}\\{z+x=24}\end{array}\right.$．