Question

13．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的元二次方程x²-（2m+3）x+m²+3m+2=0的两个实数根，且第三边长为5，请你探索下列问题：
（1）是否存在实数m，使△ABC是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使△ABC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）△ABC是以BC为底边的等腰三角形则可得到x²-（2m+3）x+m²+3m+2=0的两个相等的实数根，从而确定m的值；
（2）根据题意得出AB、AC的长，再由根与系数的关系得出m的值；

解答 解：（1）∵设存在m使得△ABC是以BC为边的等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∵（2m+3）²-4（m²+3m+2）=1＞0
∴不存在m，使得△ABC是以BC为底边的等腰三角形；
（2）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB²+AC²=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+3m+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2m+3，AB•AC=m²+3m+2，
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，
即（2m+3）²-2（m²+3m+2）=25，
整理，得
（m-2）（m+5）=0
解得m=2或-5（不合题意舍去）．
即当m=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定、解方程．解题的关键是注意分情况讨论．