Question

如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且，．

理解与作图：

（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．

计算与猜想：

（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？

启发与证明：

（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）（3）见解析

【解析】（1）作图如下：························· 2分

 

 

（2）解：在图2中，，

∴四边形EFGH的周长为．······················ 3分

在图3中，，．

∴四边形EFGH的周长为．·············· 4分

猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．··············· 5分

（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N．

 

∵，，

∴．

而，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM．

∴，．························ 6分

同理：，．

∴．··························· 7分

∵，，

∴．    ∴．···················· 8分

过点G作GK⊥BC于K，则．················ 9分

∴．

∴四边形EFGH的周长为．·················· 10分

证法二：∵，，    ∴．

而，    ∴Rt△FCE≌Rt△FCM．

∴，．························ 6分

∵，，

而，   ∴．

∴HE∥GF．    同理：GH∥EF．

∴四边形EFGH是平行四边形．······················ 7分

∴．     而，

∴Rt△FDG≌Rt△HBE．     ∴．················· 8分

过点G作GK⊥BC于K，则．····· 9分

∴．

∴四边形EFGH的周长为．  10分

（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形；

（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值；

（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N，再利用“角边角”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出MK=MN=8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长；

证法二：利用“角边角”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，再根据角的关系推出∠M=∠HEB，根据同位角相等，两直线平行可得HE∥GF，同理可证GH∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形，过点G作GK⊥BC于K，根据边的关系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长．