Question

16．如图，在正方形ABCD外侧，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE，BE
（1）求证：AE=BE；
（2）已知BE=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形和等边三角形的性质得出AD=ED，BC=CE，∠ADE=150°，∠BCE=150°，得出∠DAE=∠CBE=15°，∠BAE=∠ABE=75°，即可证出AE=BE；
（2）作AF⊥BE于F，先求出AF、EF、BF，再根据勾股定理求出AB²，即可得出△ABC的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∵△DCE是等边三角形，
∴CD=DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°．
∴AD=ED，BC=CE，∠ADE=150°，∠BCE=150°．
∴∠DAE=∠CBE=15°，
∴∠BAE=∠ABE=75°，
∴AE=BE；
（2）解：作AH⊥BE于H，如图所示：
由（1）得：∠AEB=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$BE=5，EH=5$\sqrt{3}$，
∴BH=10-5$\sqrt{3}$，
∴AB²=AH²+BH²=5²+（10-5$\sqrt{3}$）²=200-100$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AB²=100-50$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．