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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B,C两点.

(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标;

(2)求证:∠ABC=90°;

(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(4)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) A(1,1), B(2,0),C(-1,-3);(2)证明见解析;(3) 存在满足条件的点P,(

);(4) 存在满足条件的N点,其坐标为(5,0)或(-1,0)或(,0)或(,0).

);

【解析】(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标,联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标;

(2)由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2,由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形;

(3)过点P作PG∥y轴,交直线BC于点G,设出P点坐标,则可表示出G点坐标,从而可表示出PG的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标;

(4)设出M、N的坐标,则可表示出MN和ON的长度,由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标.

解:(1)∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,

∴抛物线顶点坐标A(1,1),

联立抛物线与直线解析式可得,解得

∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);

(2)证明:

由(1)可知B(2,0),C(﹣1,﹣3),A(1,1),

∴AB2=(1﹣2)2+12=2,BC2=(﹣1﹣2)2+(﹣3)2=18,

AC2=(﹣1﹣1)2+(﹣3﹣1)2=20,∴AC2=AB2+BC2

∴△ABC是直角三角形,

∴∠ABC=90°;

(3)如图,过点P作PG∥y轴,交直线BC于点G,

设P(t,﹣t2+2t),则G(t,t﹣2),

∵点P在直线BC上方,

∴PG=﹣t2+2t﹣(t﹣2)=﹣t2+t+2=﹣(t﹣2+,

∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2﹣(﹣1)]= PG=﹣(t﹣2+

∵﹣<0,

∴当t=时,S△PBC有最大值,此时P点坐标为( ),

即存在满足条件的点P,其坐标为( );

(4)∵∠ABC=∠ONM=90°,

∴当△OMN和△ABC相似时,有

设N(m,0),

∵MN⊥x轴,

∴M(m,﹣m2+2m),

∴MN=|﹣m2+2m|,ON=|m|,

①当时,即=,解得m=5或m=﹣1或m=0(舍去);

②当时,即=,解得m=或m=或m=0(舍去);

综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(5,0)或(﹣1,0)或(,0)或(,0).

“点睛”此题考查了二次函数的综合应用,涉及了相似三角形的判定与性质、勾股定理,解答本题需要我们熟练各个知识点的内容,认真探究题目,谨慎作答.

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