【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标;
(2)求证:∠ABC=90°;
(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) A(1,1), B(2,0),C(-1,-3);(2)证明见解析;(3) 存在满足条件的点P,( ,
);(4) 存在满足条件的N点,其坐标为(5,0)或(-1,0)或(,0)或(,0).
);
【解析】(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标,联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标;
(2)由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2,由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形;
(3)过点P作PG∥y轴,交直线BC于点G,设出P点坐标,则可表示出G点坐标,从而可表示出PG的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标;
(4)设出M、N的坐标,则可表示出MN和ON的长度,由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标.
解:(1)∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,
∴抛物线顶点坐标A(1,1),
联立抛物线与直线解析式可得,解得或,
∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);
(2)证明:
由(1)可知B(2,0),C(﹣1,﹣3),A(1,1),
∴AB2=(1﹣2)2+12=2,BC2=(﹣1﹣2)2+(﹣3)2=18,
AC2=(﹣1﹣1)2+(﹣3﹣1)2=20,∴AC2=AB2+BC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠ABC=90°;
(3)如图,过点P作PG∥y轴,交直线BC于点G,
设P(t,﹣t2+2t),则G(t,t﹣2),
∵点P在直线BC上方,
∴PG=﹣t2+2t﹣(t﹣2)=﹣t2+t+2=﹣(t﹣)2+,
∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2﹣(﹣1)]= PG=﹣(t﹣)2+,
∵﹣<0,
∴当t=时,S△PBC有最大值,此时P点坐标为(, ),
即存在满足条件的点P,其坐标为(, );
(4)∵∠ABC=∠ONM=90°,
∴当△OMN和△ABC相似时,有或,
设N(m,0),
∵MN⊥x轴,
∴M(m,﹣m2+2m),
∴MN=|﹣m2+2m|,ON=|m|,
①当时,即=,解得m=5或m=﹣1或m=0(舍去);
②当时,即=,解得m=或m=或m=0(舍去);
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(5,0)或(﹣1,0)或(,0)或(,0).
“点睛”此题考查了二次函数的综合应用,涉及了相似三角形的判定与性质、勾股定理,解答本题需要我们熟练各个知识点的内容,认真探究题目,谨慎作答.
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【题目】如图,某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发,沿着俯角为15°的方向,直线滑行1600米到达D点,然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点.求他飞行的水平距离BC(结果精确到1m).
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【题目】某公司组织员工外出旅游甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客,分别推出了旅游的团体优惠办法甲旅行社的优惠办法是:买4张全票,其余人按原价的五折收费;乙旅行社的优惠办法是:一律按原价的六折收费已知这两家旅行社的原价均为a元,且在旅行过程中的各种服务质量相同如果你是该公司的负责人,你会选择哪家旅行社.
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【题目】市移动通讯公司开设了两种通讯业务: “全球通” 使用者先缴50元月基础费, 然后每通话1分钟, 再付电话费0.4元; “神州行” 不缴月基础费, 每通话1分钟, 付话费0.6元(这里均指市内通话). 若一个月内通话x分钟, 两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)一个月内通话多少分钟, 两种通讯方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内使用话费200元, 则应选择哪种通讯方式较合算?
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【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,∠A=45°,AB=30,BC=x,其中15<x<30.过点D作DE⊥AB于点E,将△ADE沿直线DE折叠,使点A落在点F处,DF交BC于点G.
(1)用含x的代数式表示BF的长.
(2)设四边形DEBG的面积为S,求S关于x的函数表达式.
(3)当x为何值时,S有最大值?并求出这个最大值.
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